Integral de x^3 arc sen x dx

Para resolver a integral de x^3 arc sen x dx, precisaremos começar fazendo a integral por partes e também utilizaremos uma substituição trigonométrica.

Inicialmente, escolheremos o u que é a função que iremos derivar, e o dv para integrar, a ser aplicado na fórmula de integral por partes:

O u escolhido geralmente trata-se de polinômios, porém, como não existe uma fórmula direta que integre arcsen x, isso nos obriga a escolhê-lo como o nosso u.
Dessa forma, temos:

Em seguida, substituindo:

Caímos em uma integral que pode ser resolvida pela substituição trigonométrica. Neste caso, utilizaremos o seno de θ (theta):

Desenvolvendo:

Para descobrir o valor de θ, como temos o valor do seno de θ, basta tomar o seu inverso, ou seja: θ = arc sen x;

Seno de x é igual a cateto oposto sobre hipotenusa (observe o triângulo retângulo): sen θ = x;

e cosseno é cateto adjacente sobre a hipotenusa, portanto: cos θ = raiz (1 - x²). 

Foram utilizadas algumas identidades trigonométricas, como sen²θ = (1 - cos2θ) / 2 e sen2θ = 2senθcosθ.

Simplificando mais um pouco o resultado e substituindo na primeira fórmula:

Resolvida!

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