Física - Capítulo 7 (Halliday, 8ª ed) - Ex 1 - Energia Cinética

1. Em 10 de agosto de 1972, um grande meteorito atravessou a atmosfera terrestre sobre o oeste dos EUA e Canadá, como uma pedra que ricocheteia na água. A bola de fogo resultante foi tão forte que pôde ser vista à luz do dia e era mais intensa que o rastro deixado por um meteorito comum. A massa do meteorito era aproximadamente 4x10⁶kg; sua velocidade era de cerca de 15km/s. Se ele tivesse penetrado a atmosfera verticalmente, teria atingido a superfície da Terra com aproximadamente a mesma velocidade. 

a) Calcule a perda de energia cinética do meteorito (em joules) que estaria associada com o impacto vertical. 

Resolução:

Calcular a perda de energia cinética é calcular a sua variação, e no caso desse exercício, o meteorito em questão sofre um impacto no final do seu movimento. Isso significa que a velocidade final do movimento é zero.

Portanto, calculando a variação da energia cinética:

O valor negativo indica perda de energia.

b) Expresse a energia como um múltiplo da energia de explosivo de 1 megaton de TNT, que é de 4,2x10¹⁵ J.
Resolução: essa questão pede basicamente que você converta a energia para megatons de TNT.

 c) A energia associada com a explosão da bomba atômica sobre Hiroshima era equivalente a 13 quilotons de TNT. A quantas bombas de Hiroshima o impacto do meteorito seria equivalente?
Resolução:

Resolvida!

Integral de x^3 arc sen x dx

Para resolver a integral de x^3 arc sen x dx, precisaremos começar fazendo a integral por partes e também utilizaremos uma substituição trigonométrica.

Inicialmente, escolheremos o u que é a função que iremos derivar, e o dv para integrar, a ser aplicado na fórmula de integral por partes:

O u escolhido geralmente trata-se de polinômios, porém, como não existe uma fórmula direta que integre arcsen x, isso nos obriga a escolhê-lo como o nosso u.
Dessa forma, temos:

Em seguida, substituindo:

Caímos em uma integral que pode ser resolvida pela substituição trigonométrica. Neste caso, utilizaremos o seno de θ (theta):

Desenvolvendo:

Para descobrir o valor de θ, como temos o valor do seno de θ, basta tomar o seu inverso, ou seja: θ = arc sen x;

Seno de x é igual a cateto oposto sobre hipotenusa (observe o triângulo retângulo): sen θ = x;

e cosseno é cateto adjacente sobre a hipotenusa, portanto: cos θ = raiz (1 - x²). 

Foram utilizadas algumas identidades trigonométricas, como sen²θ = (1 - cos2θ) / 2 e sen2θ = 2senθcosθ.

Simplificando mais um pouco o resultado e substituindo na primeira fórmula:

Resolvida!

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