Capítulo 10 - Rotação - Halliday, 8ed.- Problema 6

A posição angular de um ponto sobre uma roda que está girando é dada por Ѳ = 2 + 4t² + 2t³, onde Ѳ está em radianos e t em segundos. Em t=0 quais sao: (a) a posição angular do ponto e (b) a sua velocidade angular? (c) Qual a velocidade angular em t = 4 s? (d) Calcule a sua aceleraçao em t = 2 s (e) a aceleraçao do ponto é constante?

Solução: 

theta = 2,0 +4,0t^2+2,0t^3 (posição angular de um ponto em uma roda)

em t=0, quais são 

a) a posição angular do ponto:

theta= 2,0 rad.

b) sua velocidade angular:

omega = d(theta)/dt = 2*4t+2*3t^2

omega = 8t + 6t^2 ---> em t= 0

omega = 0

c) Qual é a velocidade angular em t=4,0s?

omega = 8t + 6t^2

omega = 8*4 + 6*(4)^2

omega = 32 + 96 = 128 rad/s

d) calcule a aceleração angular em t=2,0s

alfa = d(omega)/dt = 8+12t

alfa = 8 + 12 * 2 = 32 rad/s²

e) a aceleração angular da roda é constante?

a função de alfa (8+12t)  varia com o tempo, portanto não é constante.

Física - Halliday 8ªed. - Capítulo 9 - Centro de Massa, problema 2.

2. A figura mostra um sistema de três partículas de massas m1 = 3,0 Kg, m2 = 4,0 Kg e m3 = 8,0  Kg. As escalas do gráfico são definidas por xs = 2,0 m e ys = 2,0 m. Quais são:  a) As coordenadas x e y do centro de massa do sistema?  b) Se m3 aumenta gradualmente, o centro de massa do sistema se aproxima de m3, se afasta  de m3 ou permanece onde está? 

Resolução:

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Física - Halliday 8ª ed. - Capítulo 9 - Centro de Massa, problema 1.

1. Uma partícula de 2,00kg tem coordenadas xy (-1,20m, 0,500m) e uma partícula de 4,00kg tem coordenadas xy (0,600m, -0,750m). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada (a) x e (b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00 kg para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas (-0,500m, -0,700m)?

Resolução:
Um exercício simples, aplicação de fórmula. Eq 9-5.

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Física - Capítulo 7 (Halliday, 8ª ed) - Ex 1 - Energia Cinética

1. Em 10 de agosto de 1972, um grande meteorito atravessou a atmosfera terrestre sobre o oeste dos EUA e Canadá, como uma pedra que ricocheteia na água. A bola de fogo resultante foi tão forte que pôde ser vista à luz do dia e era mais intensa que o rastro deixado por um meteorito comum. A massa do meteorito era aproximadamente 4x10⁶kg; sua velocidade era de cerca de 15km/s. Se ele tivesse penetrado a atmosfera verticalmente, teria atingido a superfície da Terra com aproximadamente a mesma velocidade. 

a) Calcule a perda de energia cinética do meteorito (em joules) que estaria associada com o impacto vertical. 

Resolução:

Calcular a perda de energia cinética é calcular a sua variação, e no caso desse exercício, o meteorito em questão sofre um impacto no final do seu movimento. Isso significa que a velocidade final do movimento é zero.

Portanto, calculando a variação da energia cinética:

O valor negativo indica perda de energia.

b) Expresse a energia como um múltiplo da energia de explosivo de 1 megaton de TNT, que é de 4,2x10¹⁵ J.
Resolução: essa questão pede basicamente que você converta a energia para megatons de TNT.

 c) A energia associada com a explosão da bomba atômica sobre Hiroshima era equivalente a 13 quilotons de TNT. A quantas bombas de Hiroshima o impacto do meteorito seria equivalente?
Resolução:

Resolvida!

Integral de x^3 arc sen x dx

Para resolver a integral de x^3 arc sen x dx, precisaremos começar fazendo a integral por partes e também utilizaremos uma substituição trigonométrica.

Inicialmente, escolheremos o u que é a função que iremos derivar, e o dv para integrar, a ser aplicado na fórmula de integral por partes:

O u escolhido geralmente trata-se de polinômios, porém, como não existe uma fórmula direta que integre arcsen x, isso nos obriga a escolhê-lo como o nosso u.
Dessa forma, temos:

Em seguida, substituindo:

Caímos em uma integral que pode ser resolvida pela substituição trigonométrica. Neste caso, utilizaremos o seno de θ (theta):

Desenvolvendo:

Para descobrir o valor de θ, como temos o valor do seno de θ, basta tomar o seu inverso, ou seja: θ = arc sen x;

Seno de x é igual a cateto oposto sobre hipotenusa (observe o triângulo retângulo): sen θ = x;

e cosseno é cateto adjacente sobre a hipotenusa, portanto: cos θ = raiz (1 - x²). 

Foram utilizadas algumas identidades trigonométricas, como sen²θ = (1 - cos2θ) / 2 e sen2θ = 2senθcosθ.

Simplificando mais um pouco o resultado e substituindo na primeira fórmula:

Resolvida!

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